La combinazione di lettere, segni e numeri nelle operazioni matematiche è nota come espressioni algebriche. Di solito le lettere rappresentano quantità sconosciute e sono chiamate variabili o incognite. Le espressioni algebriche consentono traduzioni nelle espressioni del linguaggio matematico del linguaggio ordinario. Le espressioni algebriche derivano dall'obbligo di tradurre valori sconosciuti in numeri rappresentati da lettere. Il ramo della matematica responsabile dello studio di queste espressioni in cui compaiono numeri e lettere, nonché segni di operazioni matematiche, è l'Algebra.
Cosa sono le espressioni algebriche
Sommario
Come accennato in precedenza, queste operazioni non sono altro che la combinazione di lettere, numeri e segni che vengono successivamente utilizzati in diverse operazioni matematiche. Nelle espressioni algebriche, le lettere hanno il comportamento dei numeri e quando seguono quel corso, vengono utilizzate da una a due lettere.
Indipendentemente dall'espressione che hai, la prima cosa da fare è semplificare, ciò si ottiene utilizzando le proprietà delle operazioni, che sono equivalenti alle proprietà numeriche. Per trovare il valore numerico di un'operazione algebrica, è necessario sostituire la lettera con un certo numero.
Molti esercizi possono essere eseguiti su queste espressioni e verranno eseguiti in questa sezione per migliorare la comprensione dell'argomento in questione.
Esempi di espressioni algebriche:
- (X + 5 / X + 2) + (4X + 5 / X + 2)
X + 5 + 4X + 5 / X + 2
5X + 10 / X + 2
5 (X + 2) / X + 2
5
- (3 / X + 1) - (1 / X + 2)
3 (X + 2) - X - 1 / (X + 1) * (X + 2)
2X - 5 / X ^ 2 + 3X + 2
Linguaggio algebrico
Il linguaggio algebrico è quello che utilizza simboli e lettere per rappresentare i numeri. La sua funzione principale è quella di stabilire e strutturare un linguaggio che aiuti a generalizzare le diverse operazioni che avvengono all'interno dell'aritmetica dove si verificano solo i numeri e le loro operazioni aritmetiche elementari (+ -x%).
Il linguaggio algebrico mira a stabilire e progettare un linguaggio che aiuti a generalizzare le diverse operazioni che si sviluppano all'interno dell'aritmetica, dove vengono utilizzati solo i numeri e le loro operazioni matematiche di base: addizione (+), sottrazione (-), moltiplicazione (x) e divisione (/).
Il linguaggio algebrico si caratterizza per la sua precisione, poiché è molto più concreto del linguaggio numerico. Attraverso di esso, le frasi possono essere espresse brevemente. Esempio: l'insieme dei multipli di 3 è (3, 6, 9, 12…) è espresso 3n, dove n = (1, 2, 3, 4…).
Ti consente di esprimere numeri sconosciuti ed eseguire operazioni matematiche con essi. Esempio, la somma di due numeri è espressa in questo modo: a + b. Supporta l'espressione di proprietà e relazioni numeriche generali.
Esempio: la proprietà commutativa è espressa così: axb = bx a. Scrivendo utilizzando questo linguaggio, quantità sconosciute possono essere manipolate con semplici simboli da scrivere, consentendo la semplificazione dei teoremi, la formulazione di equazioni e disequazioni e lo studio di come risolverle.
Segni e simboli algebrici
In algebra, sia i simboli che i segni sono usati nella teoria degli insiemi e questi costituiscono o rappresentano equazioni, serie, matrici, ecc. Le lettere sono espresse o denominate come variabili, poiché la stessa lettera viene utilizzata in altri problemi e il suo valore trova variabili diverse. Alcune delle espressioni algebriche di classificazione includono quanto segue:
Frazioni algebriche
Una frazione algebrica è nota come quella rappresentata dal quoziente di due polinomi che mostrano un comportamento simile alle frazioni numeriche. In matematica, puoi operare con queste frazioni eseguendo la moltiplicazione e la divisione. Pertanto, si deve esprimere che la frazione algebrica è rappresentata dal quoziente di due espressioni algebriche dove il numeratore è il dividendo e il denominatore il divisore.
Tra le proprietà delle frazioni algebriche si può evidenziare che se il denominatore viene diviso o moltiplicato per la stessa quantità diversa da zero, la frazione non verrà alterata. La semplificazione di una frazione algebrica consiste nel trasformarla in una frazione non più riducibile, essendo necessario fattorizzare i polinomi che compongono numeratore e denominatore.
Le espressioni algebriche di classificazione si riflettono nei seguenti tipi: equivalente, semplice, corretto, improprio, composto da numeratore o denominatore nullo. Poi li vedremo ciascuno.
Equivalenti
Questo aspetto viene affrontato quando il prodotto incrociato è lo stesso, cioè quando il risultato delle frazioni è lo stesso. Ad esempio, di queste due frazioni algebriche: 2/5 e 4/10 saranno equivalenti se 2 * 10 = 5 * 4.
Semplice
Sono quelli in cui il numeratore e il denominatore rappresentano espressioni razionali intere.
Proprio
Sono semplici frazioni in cui il numeratore è minore del denominatore.
Improprio
Sono frazioni semplici in cui il numeratore è uguale o maggiore del denominatore.
Composito
Sono formati da una o più frazioni che possono essere collocate nel numeratore, nel denominatore o in entrambi.
Numeratore o denominatore nullo
Si verifica quando il valore è 0. Nel caso di una frazione 0/0, sarà indeterminata. Quando si utilizzano frazioni algebriche per eseguire operazioni matematiche, è necessario tenere conto di alcune caratteristiche delle operazioni con frazioni numeriche, ad esempio, per iniziare il minimo comune multiplo deve essere trovato quando i denominatori sono di cifre diverse.
Sia nella divisione che nella moltiplicazione le operazioni vengono eseguite ed eseguite come con le frazioni numeriche, poiché queste devono essere preventivamente semplificate quando possibile.
Monomials
I monomiali sono espressioni algebriche ampiamente utilizzate che hanno una costante chiamata coefficiente e una parte letterale, che è rappresentata da lettere e può essere elevata a diverse potenze. Ad esempio, il monomio 2x² ha 2 come coefficiente e x² è la parte letterale.
In diverse occasioni, la parte letterale può essere costituita da una moltiplicazione di incognite, ad esempio nel caso di 2xy. Ciascuna di queste lettere è chiamata indeterminata o variabile. Un monomio è un tipo di polinomio con un unico termine, inoltre, c'è la possibilità di trovarsi di fronte a monomi simili.
Elementi di monomi
Dato il monomio 5x ^ 3; Si distinguono i seguenti elementi:
- Coefficiente: 5
- Parte letterale: x ^ 3
Il prodotto dei monomi è il coefficiente, che si riferisce al numero che appare moltiplicando la parte letterale. Di solito è posizionato all'inizio. Se il prodotto di monomi ha valore 1, non viene scritto e non può mai essere zero, poiché l'intera espressione avrebbe valore zero. Se c'è una cosa da sapere sugli esercizi monomiali, è che:
- Se un monomio manca di un coefficiente, è uguale a uno.
- Se un termine non ha esponente, è uguale a uno.
- Se una qualsiasi parte letterale non è presente, ma è richiesta, viene considerata con esponente zero.
- Se tutto ciò non è d'accordo, allora non hai a che fare con esercizi sui monomi, potresti anche dire che la stessa regola esiste con gli esercizi tra polinomi e monomi.
Addizione e sottrazione di monomi
Per poter effettuare somme tra due monomi lineari, è necessario mantenere la parte lineare e sommare i coefficienti. Nelle sottrazioni di due monomi lineari, la parte lineare va mantenuta, come nelle somme, per poter sottrarre i coefficienti, poi si moltiplicano i coefficienti e si sommano gli esponenti con le stesse basi.
Moltiplicazione di monomi
È un monomio il cui coefficiente è il prodotto o il risultato dei coefficienti, che hanno una parte letterale che è stata ottenuta attraverso la moltiplicazione di potenze che hanno esattamente la stessa base.
Divisione di monomi
Non è altro che un altro monomio il cui coefficiente è il quoziente dei coefficienti ottenuti che, inoltre, hanno una parte letterale ottenuta dalle divisioni tra le potenze che hanno esattamente la stessa base.
Polinomi
Quando parliamo di polinomi, ci riferiamo a un'operazione algebrica di addizione, sottrazione e moltiplicazione ordinata composta da variabili, costanti ed esponenti. In algebra, un polinomio può avere più di una variabile (x, y, z), costanti (numeri interi o frazioni) ed esponenti (che possono essere solo numeri interi positivi).
I polinomi sono costituiti da termini finiti, ogni termine è un'espressione che contiene uno o più dei tre elementi con cui sono costituiti: variabili, costanti o esponenti. Ad esempio: 9, 9x, 9xy sono tutti termini. Un altro modo per identificare i termini è che sono separati da addizione e sottrazione.
Per risolvere, semplificare, sommare o sottrarre polinomi, devi unire i termini con le stesse variabili come, ad esempio, i termini con x, i termini con "y" ei termini che non hanno variabili. Inoltre, è importante guardare il segno prima del termine che determinerà se aggiungere, sottrarre o moltiplicare. I termini con le stesse variabili vengono raggruppati, aggiunti o sottratti.
Tipi di polinomi
Il numero di termini che ha un polinomio indicherà che tipo di polinomio è, ad esempio, se c'è un polinomio a un termine, allora sta affrontando un monomio. Un chiaro esempio di ciò è uno degli esercizi sui polinomi (8xy). C'è anche il polinomio a due termini, che è chiamato binomio ed è identificato dal seguente esempio: 8xy - 2y.
Infine, il polinomio di tre termini, che sono noti come trinomi e sono identificati da uno degli esercizi polinomiali di 8xy - 2y + 4. I trinomi sono un tipo di espressione algebrica formata dalla somma o differenza di tre termini o monomi (monomi simili).
È anche importante parlare del grado di polinomio, perché se è una singola variabile, è l'esponente più grande. Il grado di un polinomio con più di una variabile è determinato dal termine con l'esponente maggiore.
Addizione e sottrazione di polinomi
La somma dei polinomi implica la combinazione di termini. Termini simili si riferiscono a monomi che hanno la stessa variabile o variabili elevate alla stessa potenza.
Esistono diversi modi per eseguire i calcoli polinomiali, inclusa la somma dei polinomi, che può essere eseguita in due modi diversi: orizzontale e verticale.
- Addizione di polinomi orizzontalmente: serve per eseguire operazioni in orizzontale, vale la ridondanza, ma prima si scrive un polinomio e poi si segue sulla stessa riga. Dopo questo, viene scritto l'altro polinomio che verrà aggiunto o sottratto e, infine, i termini simili vengono raggruppati.
- Somma verticale dei polinomi: si ottiene scrivendo il primo polinomio in modo ordinato. Se questo è incompleto, è importante lasciare liberi gli spazi vuoti dei termini mancanti. Quindi, il polinomio successivo viene scritto appena sotto il precedente, in questo modo il termine simile a quello sopra sarà sotto. Alla fine viene aggiunta ogni colonna.
È importante aggiungere che per sommare due polinomi è necessario sommare i coefficienti dei termini dello stesso grado. Il risultato dell'aggiunta di due termini dello stesso grado è un altro termine dello stesso grado. Se un termine manca da uno qualsiasi dei gradi, può essere completato con 0. E sono generalmente ordinati dal grado più alto a quello più basso.
Come accennato in precedenza, per eseguire la somma di due polinomi, è necessario solo aggiungere i termini dello stesso grado. Le proprietà di questa operazione sono costituite da:
- Proprietà associative: in cui la somma di due polinomi viene risolta sommando alla stessa potenza i coefficienti che accompagnano le x che salgono.
- Proprietà commutativa: che altera l'ordine dell'addizione e il risultato non è deducibile. Gli elementi neutri, che hanno tutti i loro coefficienti uguali a 0. Quando un polinomio viene aggiunto all'elemento neutro, il risultato è uguale al primo.
- Proprietà opposta: formata dal polinomio che ha tutti i coefficienti inversi ai coefficienti del polinomio aggregato. quindi, quando si esegue l'operazione di addizione, il risultato è il polinomio nullo.
Per quanto riguarda la sottrazione di polinomi, (operazioni con polinomi) è imperativo raggruppare i monomi in base alle caratteristiche che possiedono e iniziare con la semplificazione di quelli che erano simili. Le operazioni con i polinomi si effettuano sommando al minuendo l'opposto del sottraendo.
Un altro modo efficiente per procedere con la sottrazione di polinomi è scrivere l'opposto di ciascun polinomio sotto l'altro. Pertanto, monomi simili rimangono nelle colonne e procediamo ad aggiungerli. Indipendentemente dalla tecnica eseguita, alla fine, il risultato sarà sempre lo stesso, ovviamente, se eseguita correttamente.
Moltiplicazione di polinomi
Moltiplicazione di monomi o esercizi tra polinomi e monomi, è un'operazione che viene eseguita per trovare il prodotto risultante, tra un monomio (espressione algebrica basata sulla moltiplicazione di un numero e una lettera elevata ad esponente intero positivo) e un altro espressione, se questo è un termine indipendente, un altro monomio o anche un polinomio (somma finita di monomi e termini indipendenti).
Tuttavia, come per quasi tutte le operazioni matematiche, anche la moltiplicazione dei polinomi ha una serie di passaggi che devono essere seguiti quando si risolve l'operazione proposta, che possono essere riassunti nelle seguenti procedure:
La prima cosa da fare è moltiplicare il monomio per la sua espressione (moltiplicare i segni di ciascuno dei suoi termini). Successivamente, i valori dei coefficienti vengono moltiplicati e quando il valore viene trovato in quell'operazione, viene aggiunto il letterale dei monomi trovati nei termini. Quindi ogni risultato viene scritto in ordine alfabetico e, infine, viene aggiunto ogni esponente, che si trova nei letterali di base.
Divisione polinomiale
Conosciuto anche come metodo Ruffini. Ci permette di dividere un polinomio per un binomio e ci permette anche di individuare le radici di un polinomio per scomporlo in binomi. In altre parole, questa tecnica permette di dividere o scomporre un polinomio algebrico di grado n, in un binomio algebrico, e quindi in un altro polinomio algebrico di grado n-1. E perché ciò sia possibile, è necessario conoscere o conoscere almeno una delle radici dell'unico polinomio, affinché la separazione sia esatta.
È una tecnica efficiente per dividere un polinomio per un binomio di forma x - r. La regola di Ruffini è un caso speciale di divisione sintetica quando il divisore è un fattore lineare. Il metodo di Ruffini fu descritto nel 1804 dal matematico, professore e medico italiano Paolo Ruffini, che oltre a inventare il famoso metodo detto regola di Ruffini, che aiuta a trovare i coefficienti del risultato della frammentazione di un polinomio da parte del binomiale; Ha anche scoperto e formulato questa tecnica sul calcolo approssimativo delle radici delle equazioni.
Come sempre, quando si tratta di un'operazione algebrica, la Regola di Ruffini prevede una serie di passaggi che devono essere rispettati per arrivare al risultato desiderato, in questo caso: trova il quoziente e il resto insiti nella divisione di qualsiasi tipo di polinomio e un binomio di forma x + r.
Prima di tutto, quando si avvia l'operazione, le espressioni devono essere riviste per verificare o determinare se sono realmente trattate come polinomi e binomi che rispondono alla forma attesa dal metodo Ruffini Rule.
Una volta verificati questi passaggi, il polinomio viene ordinato (in ordine decrescente). Terminato questo passaggio, vengono presi in considerazione solo i coefficienti dei termini polinomiali (fino a quello indipendente), mettendoli in fila da sinistra a destra. Vengono lasciati degli spazi per i termini necessari (solo in caso di polinomio incompleto). Il segno della cambusa è posto a sinistra della riga, che è composta dai coefficienti del polinomio del dividendo.
Nella parte sinistra della galleria, procediamo a posizionare il termine indipendente del binomio, che, ora, è un divisore e il suo segno è inverso. L'indipendente viene moltiplicato per il primo coefficiente del polinomio, registrando così in una seconda riga sotto la prima. Quindi il secondo coefficiente e il prodotto del termine monomiale indipendente vengono sottratti dal primo coefficiente.
Il termine indipendente del binomio viene moltiplicato per il risultato della sottrazione precedente. Ma anche, è posizionato nella seconda riga, che corrisponde al quarto coefficiente. L'operazione viene ripetuta fino al raggiungimento di tutti i termini. La terza riga che è stata ottenuta in base a queste moltiplicazioni è presa come quoziente, ad eccezione del suo ultimo termine, che sarà considerato come il resto della divisione.
Il risultato si esprime, accompagnando ogni coefficiente della variabile e il grado che gli corrisponde, cominciando ad esprimerli con un grado inferiore a quello che avevano originariamente.
- Teorema del resto: è un metodo pratico utilizzato per dividere un polinomio P (x) per un altro la cui forma è xa; in cui si ottiene solo il valore del resto. Per applicare questa regola, vengono seguiti i seguenti passaggi. Il polinomio del dividendo viene scritto senza completare o ordinare, quindi la variabile x del dividendo viene sostituita con il valore opposto del termine indipendente del divisore. E infine, le operazioni vengono risolte in combinazione.
Il teorema del resto è un metodo con cui possiamo ottenere il resto di una divisione algebrica ma in cui non è necessario fare alcuna divisione.
- Metodo di Ruffini: Il metodo o regola di Ruffini è un metodo che ci permette di dividere un polinomio per un binomio e ci permette anche di individuare le radici di un polinomio da fattorizzare in binomi. In altre parole, questa tecnica permette di dividere o scomporre un polinomio algebrico di grado n, in un binomio algebrico, e quindi in un altro polinomio algebrico di grado n-1. E perché ciò sia possibile, è necessario conoscere o conoscere almeno una delle radici dell'unico polinomio, affinché la separazione sia esatta.
- Radici polinomiali: le radici di un polinomio sono determinati numeri che fanno sì che un polinomio valga zero. Possiamo anche dire che le radici complete di un polinomio di coefficienti interi saranno divisori del termine indipendente. Quando risolviamo un polinomio uguale a zero, otteniamo le radici del polinomio come soluzioni. Come proprietà delle radici e fattori dei polinomi possiamo dire che gli zeri o le radici di un polinomio sono per i divisori del termine indipendente che appartiene al polinomio.
Questo ci permette di scoprire il resto della divisione di un polinomio p (x) da un altro della forma xa, per esempio. Da questo teorema segue che un polinomio p (x) è divisibile per xa solo se a è una radice del polinomio, solo se e solo se p (a) = 0. Se C (x) è il quoziente e R (x) è il resto della divisione di qualsiasi polinomio p (x) per un binomio che sarebbe (xa) il valore numerico di p (x), per x = a, è uguale al resto della sua divisione per xa.
Allora diremo che: nP (a) = C (a) • (a - a) + R (a) = R (a). In generale, per ottenere il resto di una divisione per Xa, è più conveniente applicare la regola di Ruffini che sostituire x. Pertanto, il teorema del resto è il metodo più adatto per risolvere i problemi.
Nel mondo matematico, la regola di Ruffini è una tecnica efficiente per dividere un polinomio per un binomio di forma x - r. La regola di Ruffini è un caso speciale di divisione sintetica quando il divisore è un fattore lineare.
Il metodo di Ruffini fu descritto nel 1804 dal matematico, professore e medico italiano Paolo Ruffini, che oltre ad inventare il famoso metodo chiamato regola di Ruffini, che aiuta a trovare i coefficienti del risultato della frammentazione di un polinomio da parte del binomiale; Ha anche scoperto e formulato questa tecnica sul calcolo approssimativo delle radici delle equazioni.
Quindi, per ogni radice, ad esempio, di tipo x = a corrisponde a un binomio di tipo (xa). È possibile esprimere un polinomio in fattori se lo esprimiamo come prodotto o di tutti i binomi del tipo (xa) che corrispondono alle radici, x = a, di quel risultato. Si tenga conto che la somma degli esponenti dei binomi è uguale al grado del polinomio, si deve anche tenere conto che qualsiasi polinomio che non ha termine indipendente ammetterà come radice x = 0, in altro modo, ammetterà come un X Factor.
Chiameremo un polinomio "primo" o "irriducibile" quando non è possibile scomporlo in fattori.
Per approfondire l'argomento, dobbiamo essere chiari sul teorema fondamentale dell'algebra, che afferma che è sufficiente che un polinomio in una variabile non costante e coefficienti complessi abbia tante radici quante sono il loro grado, poiché le radici hanno le loro molteplicità. Ciò conferma che qualsiasi equazione algebrica di grado n ha n soluzioni complesse. Un polinomio di grado n ha un massimo di n radici reali.
Esempi ed esercizi
In questa sezione inseriremo alcune espressioni algebriche degli esercizi risolti di ciascuno degli argomenti trattati in questo post.
Esercizi sulle espressioni algebriche:
- X ^ 2 - 9 / 2X + 6
(X + 3) * (X - 3) / 2 * (X + 3)
X - 3/2
- X ^ 2 + 2X + 1 / X ^ 2 - 1
(X + 1) ^ 2 / (X + 1) * (X - 1)
X + 1 / X - 1
Somma di polinomi
- 2x + 3x + 5x = (2 + 3 + 5) x = 10 x
- P (x) = 2 × 2 + 5x-6
Q (x) = 3 × 2-6x + 3
P (x) + Q (x) = (2 × 2 + 5x-6) + (3 × 2-6x +3) = (2 × 2 + 3 × 2) + (5x-6x) + (-6 + 3) = 5 × 2-x-3
Sottrazione di polinomi
P (x) = 2 × 2 + 5x-6
Q (x) = 3 × 2-6x + 3
P (x) -Q (x) = (2 × 2 + 5x-6) - (3 × 2-6x +3) = (2 × 2 + 5x-6) + (-3 × 2 + 6x-3) = (2 × 2-3 × 2) + (5x + 6x) + (-6-3) = -x2 + 11x-9
Divisione polinomiale
- 8 a / 2 a = (8/2). (A / a) = 4
- 15 ay / 3a = (15/3) (ay) / a = 5 e
- 12 bxy / -2 bxy = (12 / -2) (bxy) / (bxy.) = -6
- -6 v2.c. x / -3vc = (-6 / -3) (v2.c. x) / (v. c) = 2 v
Espressioni algebriche (binomiale al quadrato)
(x + 3) 2 = x 2 + 2 • x • 3 + 32 = x 2 + 6 x + 9
(2x - 3) 2 = (2x) 2 - 2 • 2x • 3 + 32 = 4 × 2 - 12 x + 9
Teorema del resto
(x4 - 3 × 2 + 2):(x - 3)
R = P (3) = 34 - 3 • 32 + 2 = 81 - 27 + 2 = 56
Moltiplicazione di monomi
axnbxm = (ab) xn + m
(5x²y³z) (2y²z²) = (2 · 5) x²y3 + 2z1 + 2 = 10x²y5z³
4x · (3x²y) = 12x³y
Divisione di monomi
8 a / 2 a = (8/2). (A / a) = 4
15 ay / 3a = (15/3) (ay) / a = 5 e
12 bxy / -2 bxy = (12 / -2) (bxy) / (bxy.) =
-6-6 v2. c. x / -3vc = (-6 / -3) (v2.c. x) / (v. c) = 2 v
Addizione e sottrazione di monomi
Esercizio: 3 × 3 - 4x + 5 - 2 + 2 × 3 + 2 × 2
Soluzione: 3 × 3 - 4x + 5 - 2 + 2 × 3 + 2 × 2 = 3 × 3 + 2 × 3 + 2 × 2 - 4x + 5-2 = 5 × 3 + 2 × 2 - 4x + 3
