Nel campo della fisica, il termine lagrangiano è definito come una funzione scalare, dalla quale si possono cogliere le leggi di conservazione, evoluzione temporale e altre caratteristiche essenziali di un sistema dinamico. È una funzione così significativa che all'interno della fisica la lagrangiana è l'operatore principale che specifica un sistema fisico.
La lagrangiana è una funzione scalare descritta su uno spazio di possibili stati del sistema. Il nome di questa funzione è dovuto all'astronomo e matematico Joseph Louis de Lagrange. La nozione di Lagrangiana fu inclusa dallo stesso Lagrange in una riformulazione della meccanica classica nel 1778.
Nella meccanica lagrangiana, il percorso di un oggetto si ottiene trovando il percorso che riduce l' azione, che è l'integrale della lagrangiana nel tempo.
Questa riformulazione era essenziale poiché era possibile esplorare la meccanica di sistemi alternativi di coordinate cartesiane, come: coordinate cilindriche, sferiche e polari. L'enunciazione lagrangiana facilita notevolmente molti dei problemi fisici rispetto alle leggi di Newton. Ad esempio: verrà studiato un tallone su un cerchio. Se si decidesse di calcolare il movimento di detto tallone applicando la meccanica newtoniana, si otterrebbe un complesso sistema di equazioni, che terrebbe conto delle forze che l'anello esercita sul tallone in ogni momento.
Mentre con l'approssimazione di Lagrange si possono osservare tutti i possibili movimenti che il conto può adottare sul ring, individuando matematicamente quello che minimizza l'azione.
