L' algebra è una branca della matematica che utilizza numeri, lettere e segni per riferirsi alle varie operazioni aritmetiche eseguite. Oggi l'algebra come risorsa matematica viene utilizzata nelle relazioni, nelle strutture e nella quantità. L'algebra elementare è la più comune poiché è quella che utilizza operazioni aritmetiche come addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione poiché, a differenza dell'aritmetica, utilizza simboli come xy che è il più comune invece di utilizzare numeri.
Cos'è l'algebra
Sommario
È il ramo che appartiene alla matematica, che permette di sviluppare e risolvere problemi aritmetici attraverso lettere, simboli e numeri, che a loro volta simboleggiano oggetti, soggetti o gruppi di elementi. Questo permette di formulare operazioni che contengono numeri sconosciuti, detti incogniti e che rendono possibile lo sviluppo di equazioni.
Attraverso l'algebra, l'uomo ha potuto rendere conto in modo astratto e generico, ma anche più avanzato, attraverso calcoli più complessi, sviluppati da intellettuali matematici e fisici come Sir Isaac Newton (1643-1727), Leonhard Euler (1707- 1783), Pierre de Fermat (1607-1665) o Carl Friedrich Gauss (1777-1855), grazie ai cui contributi abbiamo la definizione di algebra come è conosciuta oggi.
Tuttavia, secondo la storia dell'algebra, Diofanto di Alessandria (data di nascita e morte sconosciuta, che si ritiene abbia vissuto tra il III e il IV secolo), era in realtà il padre di questo ramo, poiché pubblicò un'opera chiamata Arithmetica, che Consisteva di tredici libri e in cui presentava problemi con equazioni che, sebbene non corrispondessero a un carattere teorico, erano adeguate per soluzioni generali. Ciò ha contribuito a definire cos'è l'algebra e, tra i molti contributi da lui apportati, è stata l'implementazione di simboli universali per la rappresentazione di uno sconosciuto all'interno delle variabili del problema da risolvere.
L'origine della parola "algebra" deriva dall'arabo e significa "restauro" o "riconoscimento". Allo stesso modo ha il suo significato in latino, che corrisponde a "riduzione", e, sebbene non siano termini identici, significano la stessa cosa.
Come strumento aggiuntivo per lo studio di questo ramo, puoi contare sui calcolatori algebrici, che sono calcolatori in grado di rappresentare graficamente funzioni algebriche. Consentendo in questo modo di integrare, derivare, semplificare espressioni e funzioni grafiche, creare matrici, risolvere equazioni, tra le altre funzioni, sebbene questo strumento sia più appropriato per un livello superiore.
All'interno dell'algebra è il termine algebrico, che è il prodotto di un fattore numerico di almeno una variabile lettera; in cui ogni termine può essere differenziato per il suo coefficiente numerico, le sue variabili rappresentate da lettere e il grado del termine sommando gli esponenti degli elementi letterali. Ciò significa che per il termine algebrico p5qr2, il coefficiente sarà 1, la sua parte letterale sarà p5qr2 e il suo grado sarà 5 + 1 + 2 = 8.
Cos'è un'espressione algebrica
È un'espressione composta da costanti intere, variabili e operazioni algebriche. Un'espressione algebrica è costituita da segni o simboli ed è composta da altri elementi specifici.
In algebra elementare, così come in aritmetica, le operazioni algebriche utilizzate per risolvere i problemi sono: addizione o addizione, sottrazione o sottrazione, moltiplicazione, divisione, empowerment (moltiplicazione di un fattore multiplo volte) e radicazione (operazione inversa del potenziamento).
I segni usati in queste operazioni sono gli stessi usati per l'aritmetica per l'addizione (+) e la sottrazione (-), ma per la moltiplicazione la X (x) è sostituita da un punto (.) Oppure possono essere rappresentati con segni di raggruppamento (esempio: cd e (c) (d) sono equivalenti all'elemento “c” moltiplicato per l'elemento “d” o cxd) e nella divisione algebrica vengono utilizzati due punti (:).
Vengono utilizzati anche segni di raggruppamento, come parentesi (), parentesi quadre, parentesi graffe {} e strisce orizzontali. Vengono utilizzati anche i segni di relazione, che sono quelli utilizzati per indicare che esiste una correlazione tra due dati, e tra i più utilizzati sono uguale a (=), maggiore di (>) e minore di (<).
Inoltre, sono caratterizzati dall'utilizzo di numeri reali (razionali, che includono positivo, negativo e zero; e irrazionali, che sono quelli che non possono essere rappresentati come frazioni) o complessi, che fanno parte di quelli reali, formando un campo algebricamente chiuso.
Queste sono le principali espressioni algebriche
Ci sono espressioni che fanno parte del concetto di cosa sia l'algebra, queste espressioni sono classificate in due tipi: monomi, che sono quelli che hanno un unico addendo; e polinomi, che ha due (binomi), tre (trinomi) o più addendi.
Alcuni esempi di monomi sarebbero: 3x, π
Mentre alcuni polinomi possono essere: 4 × 2 + 2x (binomiale); 7ab + 3a3 (trinomiale)
È importante ricordare che se la variabile (in questo caso "x") è nel denominatore o all'interno di una radice, le espressioni non sarebbero monomi o polinomi.
Cos'è l'algebra lineare
Quest'area della matematica e dell'algebra è quella che studia i concetti di vettori, matrici, sistemi di equazioni lineari, spazi vettoriali, trasformazioni lineari e matrici. Come si può vedere, l'algebra lineare ha varie applicazioni.
La sua utilità varia dallo studio dello spazio delle funzioni, che sono quelle che sono definite da un insieme X (orizzontale) ad un insieme Y (verticale) e sono applicate a spazi vettoriali o topologici; equazioni differenziali, che mettono in relazione una funzione (valore che dipende dal secondo valore) con le sue derivate (velocità di variazione istantanea che fa variare il valore di una data funzione); ricerca operativa, che applica metodi analitici avanzati per prendere decisioni corrette; per l'ingegneria.
Uno degli assi principali dello studio dell'algebra lineare si trova negli spazi vettoriali, che sono costituiti da un insieme di vettori (segmenti di una linea) e da un insieme di scalari (numeri reali, costanti o complessi, che hanno grandezza ma non la caratteristica del vettore di direzione).
I principali spazi vettoriali a dimensione finita sono tre:
- I vettori in Rn, che rappresentano le coordinate cartesiane (asse X orizzontale e asse Y verticale).
- Le matrici, che sono espressioni di sistemi rettangolari (rappresentate da numeri o simboli), sono caratterizzate da un numero di righe (solitamente rappresentate dalla lettera "m") e da un numero di colonne (indicate dalla lettera "n"), e sono usati nella scienza e nell'ingegneria.
- Lo spazio vettoriale dei polinomi nella stessa variabile, dato da polinomi che non superano il grado 2, hanno coefficienti reali e si trovano sulla variabile "x".
Funzioni algebriche
Si riferisce a una funzione che corrisponde a un'espressione algebrica, mentre soddisfa anche un'equazione polinomiale (i suoi coefficienti possono essere monomi o polinomi). Sono classificati in: valore razionale, irrazionale e assoluto.
- Le funzioni razionali intere sono quelle espresse in:, dove "P" e "Q" rappresentano due polinomi e "x" la variabile, dove "Q" è diverso dal polinomio nullo e la variabile "x" non annulla il denominatore.
- Funzioni irrazionali, in cui l'espressione f (x) rappresenta un radicale, come questo:. Se il valore di "n" è pari, il radicale sarà definito in modo che g (x) sia maggiore e uguale a 0, e dovrà essere indicato anche il segno del risultato, poiché senza di esso non sarebbe possibile parlare di funzione, poiché per ogni valore di "x" ci sarebbero due risultati; mentre se l'indice del radicale è dispari, quest'ultimo non è necessario, poiché il risultato sarebbe unico.
- Il valore assoluto funziona, dove il valore assoluto di un numero reale sarà il suo valore numerico lasciando da parte il suo segno. Ad esempio, 5 sarà il valore assoluto di 5 e -5.
Esistono funzioni algebriche esplicite, in cui la sua variabile "y" sarà il risultato della combinazione della variabile "x" un numero limitato di volte, utilizzando operazioni algebriche (ad esempio, addizione algebrica), che includono l'elevazione alle potenze e all'estrazione delle radici; questo si tradurrebbe in y = f (x). Un esempio di questo tipo di funzione algebrica potrebbe essere il seguente: y = 3x + 2 o quale sarebbe lo stesso: (x) = 3x + 2, poiché "y" è espresso solo in termini di "x".
Ci sono invece quelli impliciti, ovvero quelli in cui la variabile “y” non è espressa solo in funzione della variabile “x”, quindi y ≠ f (x). Come esempio di questo tipo di funzione, abbiamo: y = 5x3y-2
Esempi di funzioni algebriche
Esistono almeno 30 tipi di funzioni algebriche, ma tra le più importanti ci sono i seguenti esempi:
1. Funzione esplicita: ƒ () = sin
2. Funzione implicita: yx = 9 × 3 + x-5
3. Funzione polinomiale:
a) Costante: ƒ () = 6
b) Primo grado o lineare: ƒ () = 3 + 4
c) Secondo grado o quadratico: ƒ () = 2 + 2 + 1 o (+1) 2
d) Terzo grado o cubico: ƒ () = 2 3 + 4 2 + 3 +9
4. Funzione razionale: ƒ
5. Funzione potenziale: ƒ () = - 1
6. Funzione radicale: ƒ () =
7. Funzione per sezioni: ƒ () = se 0 ≤ ≤ 5
Cos'è l'algebra di Baldor
Quando si parla di cosa sia l'algebra di Baldor, ci si riferisce a un lavoro sviluppato dal matematico, professore, scrittore e avvocato Aurelio Baldor (1906-1978), che è stato pubblicato nel 1941. Nella pubblicazione del professore, che è nato a L'Avana, Cuba, vengono recensiti 5.790 esercizi, equivalenti a una media di 19 esercizi per test.
Baldor ha pubblicato altri lavori, come "Plane and Space Geometry", "Baldor Trigonometry" e "Baldor Arithmetic", ma quello che ha avuto il maggiore impatto nel campo di questo ramo è stato "Baldor Algebra".
Questo materiale, tuttavia, è più consigliato per il livello di istruzione medio (come il liceo), poiché per i livelli superiori (università) difficilmente servirebbe da complemento ad altri testi più avanzati e in base a quel livello.
La famosa copertina con protagonista il matematico, astronomo e geografo persiano musulmano Al-Juarismi (780-846), ha rappresentato confusione tra gli studenti che hanno utilizzato questo famoso strumento matematico, poiché si pensa che questo personaggio il suo autore Baldor.
Il contenuto dell'opera è suddiviso in 39 capitoli e un'appendice, che contiene tabelle di calcolo, una tabella delle forme base di scomposizione fattoriale e tabelle delle radici e delle potenze; e alla fine del testo ci sono le risposte agli esercizi.
All'inizio di ogni capitolo è presente un'illustrazione che riflette una revisione storica del concetto che verrà sviluppata e spiegata di seguito, e menziona figure storiche di spicco del settore, secondo il contesto storico in cui si colloca il riferimento del concetto. Questi personaggi vanno da Pitagora, Archimede, Platone, Diofanto, Ipazia ed Euclide, a René Descartes, Isaac Newton, Leonardo Euler, Blas Pascal, Pierre-Simon Laplace, Johann Carl Friedrich Gauss, Max Planck e Albert Einstein.
A cosa era dovuta la fama di questo libro?
Il suo successo sta nel fatto che è, oltre a una famosa opera letteraria obbligatoria nelle scuole secondarie latinoamericane, il libro più consultato e completo sull'argomento, in quanto contiene una chiara spiegazione dei concetti e delle loro equazioni algebriche, nonché dati storici sugli aspetti studiare, in cui viene gestito il linguaggio algebrico.
Questo libro è l'iniziazione per eccellenza degli studenti al mondo algebrico, anche se per alcuni rappresenta una fonte di ispirazione per gli studi e per altri è temuto, la verità è che si tratta di una bibliografia obbligatoria e ideale per una migliore comprensione degli argomenti trattati..
Cos'è l'algebra booleana
Il matematico inglese George Boole (1815-1864), creò un gruppo di leggi e regole per eseguire operazioni algebriche, al punto che una parte di esso prese il nome. Per questo motivo, il matematico e logico inglese è considerato uno dei precursori dell'informatica.
Nei problemi logici e filosofici, le leggi sviluppate da Boole permettevano di semplificarli in due stati, che sono lo stato vero o lo stato falso, e queste conclusioni sono state raggiunte in modo matematico. Alcuni sistemi di controllo implementati, come contattori e relè, utilizzano componenti aperti e chiusi, quello aperto è quello che conduce e quello chiuso è quello che non lo fa. Questo è noto come tutto o niente in algebra booleana.
Tali stati hanno una rappresentazione numerica di 1 e 0, dove 1 rappresenta il vero e 0 il falso, il che rende più facile il loro studio. In base a tutto ciò, qualsiasi componente di qualsiasi tipo o nulla può essere rappresentato da una variabile logica, il che significa che può avere il valore 1 o 0, queste rappresentazioni sono note come codice binario.
L'algebra booleana consente di semplificare i circuiti logici o la commutazione logica all'interno dell'elettronica digitale; anche attraverso di essa si possono eseguire in modo più rapido calcoli e operazioni logiche dei circuiti.
Nell'algebra booleana ci sono tre procedure fondamentali, che sono: il prodotto logico, la porta AND o la funzione di intersezione; la somma logica, porta OR o funzione unione; e negazione logica, NON porta o funzione di complemento. Ci sono anche diverse funzioni ausiliarie: negazione del prodotto logico, porta NAND; negazione della somma logica, porta NOR; somma logica esclusiva, porta XOR; e negazione della somma logica esclusiva, porta XNOR.
All'interno dell'algebra booleana, ci sono un certo numero di leggi, tra cui:
- Legge sulla cancellazione. Chiamata anche legge di cancellazione, dice che in alcuni esercizi dopo un processo, il termine indipendente verrà cancellato, in modo che (AB) + A = A e (A + B). A = A.
- Legge sull'identità. O di identità degli elementi 0 e 1, stabilisce che una variabile a cui si aggiunge l'elemento nullo o 0, sarà uguale alla stessa variabile A + 0 = A come se la variabile fosse moltiplicata per 1, il risultato è lo stesso A.1 = a.
- Legge idempotente. Stati che una particolare azione può essere eseguita più volte e lo stesso risultato, in modo che, se si dispone di una combinazione A + A = A e se si tratta di una disgiunzione AA = A.
- Diritto commutativo. Questo significa che non importa l'ordine in cui le variabili sono, quindi A + B = B + A.
- Legge della doppia negazione. O involuzione, afferma che se un rifiuto è dato un'altra negazione un risultato positivo, in modo che (A ') = A.
- Teorema di Morgan. Questi dicono che la somma di una certa quantità di variabili negate in generale sarà uguale al prodotto di ciascuna variabile negata indipendentemente, quindi (A + B) '= A'.B' e (AB) '= A' + B '.
- Legge distributiva. Stabilisce che quando vengono messe insieme alcune variabili, che verranno moltiplicate per un'altra variabile esterna, sarà lo stesso che moltiplicando ogni variabile raggruppata per variabile esterna, come segue: A (B + C) = AB + AC.
- Legge di assorbimento. Dice che se una variabile A implica una variabile B, allora la variabile A implicherà A e B, e A sarà "assorbito" da B.
- Diritto associativo. Nella disgiunzione o quando si uniscono più variabili, il risultato sarà lo stesso indipendentemente dal loro raggruppamento; in modo che nell'addizione A + (B + C) = (A + B) + C (il primo elemento più l'associazione degli ultimi due, è uguale all'associazione dei primi due più l'ultimo).
